성질
${ R }$이 ${ A }$ 위의 binary relation이라고 하자.
Monotonicity
${ C \subseteq B\subseteq A }$에 대해,
\[R[C] \subseteq R[B]\]증명
${ c \in C \Rightarrow c \in B}$이므로,
\[d \in R[C] \Leftrightarrow \exists c \in C,\,cRd \Rightarrow \exists c \in B,\, cRd \Leftrightarrow d \in R[B]\]Intersection
${ B,C \subseteq A }$에 대해,
\[R[B \cap C] \subseteq R[B] \cap R[C]\]등호는 ${ R }$이 injective일 때 성립한다.
증명
monotonicity에 의해,
${ R[B\cap C] \subseteq R[B] }$ 이고 ${ R[B \cap C] \subseteq R[C]}$. 따라서,
\[R[B\cap C] \subseteq R[B] \cap R[C]\]반대로,
${ y \in R[B] \cap R[C] }$라는 것은 적당한 ${ b \in B }$와 ${ c \in C }$가 존재하여,
\[bRy \mbox{ and } cRy\]라는 것이다. ${ R }$이 injective이면,
\[bRy \mbox{ and } cRy \Rightarrow b=c\]이므로 ${ b=c \in B \cap C }$이므로
\[y \in R[B \cap C]\]따라서
\[R[B] \cap R[C] \subseteq R[B \cap C]\]Union
${ (B_{\alpha}: \alpha \in J) \subseteq \mathcal{P}(A) }$에 대해,
\[R[\bigcup_{\alpha \in J} B_{\alpha}] = \bigcup_{\alpha \in J} R[B_{\alpha}]\]증명
임의의 ${ \beta \in J }$에 대해,
\[B_{\beta} \subseteq \bigcup_{\alpha \in J} B_{\alpha}\]이므로 monotonicity에 의해,
\[R[B_{\beta}] \subseteq R[\bigcup_{\alpha \in J}B_{\alpha}]\]따라서
\[\bigcup_{\alpha \in J} R[B_{\alpha}] \subseteq R[\bigcup_{\alpha \in J} B_{\alpha}]\]반대로,
\[y \in R[\bigcup_{\alpha \in J} B_{\alpha}] \Rightarrow \exists x \in \bigcup_{\alpha \in J } B_{\alpha},\, xRy\]그런데
\[x \in \bigcup_{\alpha \in J} B_{\alpha} \Leftrightarrow x \in B_{\beta} \mbox{ for some } \beta \in J\]이므로 ${ y \in R[B_{\beta}] }$. 따라서
\[R[\bigcup_{\alpha \in J}B_{\alpha}] \subseteq \bigcup_{\alpha \in J} R[B_{\alpha}]\]Difference
${ B,C \subseteq A }$에 대해
\[R[B-C] \supseteq R[B] - R[C]\]이고 등호는 ${ R }$이 injective일 때 성립한다.
증명
\[B = (B-C) \cup (B \cap C) \subseteq (B-C) \cup C\]이므로 monotinicity에 의해
\[R[B]\subseteq R[B-C] \cup R[C]\]따라서 양변에 ${ R[C] }$를 빼주면,
\[R[B]-R[C] \subseteq R[B-C] - R[C] \subseteq R[B-C]\]만약 ${ R }$이 injective이면,
\[y \in R[B]-R[C] \Leftrightarrow y \in R[B] \mbox{ and } y \notin R[C]\]${ xRy }$라고 하면, injective이므로
\[x \in B \mbox{ and } x \notin C \Leftrightarrow x \in B-C\]따라서
\[y \in R[B]-R[C] \Rightarrow y \in R[B-C]\]따라서
\[R[B] - R[C] \subseteq R[B-C]\]