모티브
complex plane ${ \mathbb{C} }$는 stereographic projection이라는 과정을 통해 point at infinity ${ \infty }$를 추가해서 extended complex plane ${ \hat{\mathbb{C}} }$ 또는 Riemann sphere라는 compact space으로 만들 수 있다.
위를 모방하여 주어진 위상공간 ${ X }$에 가상의 점 ${ \infty }$를 추가하여 ${ X^{\ast}=X \cup \{ \infty \} }$라는 더 큰 공간으로 키워서 compactification한다고 생각해보자. 그렇다면 embedding ${ c: X \to X^{\ast} }$ 다음 조건을 만족해야 한다.
- ${ X }$의 모든 compact set ${ K }$에 대해, ${ c(K) }$가 ${ X^{\ast} }$에서 compact.
- ${ X }$의 모든 closed subset ${ C }$에 대해, ${ c(C) }$가 ${ X^{\ast} }$에서 compact.
그렇다면 모든 compact 집합이 closed인 다음과 같은 위상을 주면 ${ X^{\ast} }$는 자연스럽게 compact space가 된다.
${ C }$가 ${ X^{\ast} }$에서 closed iff
- closed이고 compact인 ${ K \subseteq X }$에 대해 ${ C=K \cup \{ \infty \} }$ 또는
- ${ C }$는 ${ X }$의 closed subset.
Alexandrov extension
위에서 정의는 다음과 동등하다.
${ V }$가 ${ X^{\ast} }$에서 open iff
- ${ V }$가 ${ X }$에서 open, 또는
- closed이고 compact인 ${ K \subseteq X}$에 대해, ${ V = (X\setminus K) \cup \{ \infty \} }$
이때 ${ X^{\ast} }$를 ${ X }$의 Alexandrov extension이라고 한다.
The one-point compactification
만약 Alexandrov extension ${ X^{\ast} }$에 Hausdorff 조건을 추가한다면,
- ${ X }$는 ${ X^{\ast} }$의 subspace로써 Hausdorff space.
- 위에 의해 ${ X }$의 모든 compact set은 closed.
- 따라서 임의의 ${ x \in X }$와 그 점의 open neighborhood ${ U \subseteq X}$에 대해서 ${ c^{-1}(\overline{U}) }$는 ${ X }$에서 closed이므로 compact.
결론적으로,
\[x \in U \subseteq c^{-1}(\overline{U})\]이므로 ${ X }$는 locally compact.
반대로, ${ X }$가 locally compact Hausdorff라고 하자. ${ X^{\ast} }$가 Hausdorff임을 보이려고 하면 모든 ${ x \neq \infty }$에 대해 다음을 보이면 충분하다.
\[\exists U \ni x, \exists V\ni \infty,\quad U \cap V = \emptyset\]${ X }$가 locally compact space이므로 compact neighborhood ${ K }$가 존재하여, ${ x }$의 적당한 open neighborhood ${ U }$를 포함한다. 즉,
\[x \in U \subseteq K\]그런데 ${ \overline{U} }$가 closed이므로 ${ \overline{U} \cap K }$는 ${ K }$의 compact set이다. 그런데, ${ X }$가 Hausdorff이므로 ${ K }$에서 ${ X }$의 closed이므로, ${ K }$에서 ${ \overline{U} }$의 open covering은 모두 ${ X }$에서의 open covering이다.
따라서 ${ \overline{U} }$는 ${ X }$에서 closed이자 compact. 따라서 ${V:= X \setminus \overline{U} }$는 ${ \infty }$의 open neighborhood이고 ${ U \cap V = \emptyset }$. 따라서 ${ X^{\ast} }$는 Haudorff.
결론: ${ X }$가 locally compact Hausdorff ${ \Leftrightarrow X^{\ast} }$가 compact Hausdorff.
Alexandrov extension 중 Hausdorff인 것을 one-point compactification이라고 한다.
참고문헌
- Munkres (1999). Topology, 2nd edition.
- Alexandrov extension. In Wikipedia. Retrieved March 2, 2024, from https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension