정의

compact space이면서 동시에 Hausdorff space인 위상공간 ${ X }$를 compact Hausdorff space라고 한다.

모티브

${ X }$가 compact space이면 다음 성질이 성립한다.

  1. 임의의 위상공간 ${ Y }$와 임의의 연속함수 ${ f:X \to Y }$에 대해, ${ f(X)}$는 ${ Y }$의 compact subset.
  2. 임의의 closed subset ${ C \subseteq X}$에 대해, ${ C }$는 compact.

${ X }$가 Hausdorff space이면 다음 성질이 성립한다.

  1. 임의의 subspace ${ Y \subseteq X }$에 대해, ${ Y }$는 Hausdorff space.
  2. 임의의 compact subset ${ K \subseteq X}$에 대해, ${ K }$는 closed.

따라서 두 compact Hausdorff space ${ X }$와 ${ Y }$에 대해 다음 성질을 만족한다.

  1. ${ K \subset X }$에 대해서, ${ K }$가 compact ${ \Leftrightarrow }$ ${ K }$가 closed.
  2. 임의의 연속함수 ${ f: X \to Y }$는 closed map.

closed map lemma

${ X }$가 compact space이고 ${ Y }$가 Hausdorff space이면, 임의의 연속함수 ${ f: X \to Y }$는 closed이고 proper1이다.

증명

${ f }$는 closed

compact space ${ X }$에서 ${ C }$가 closed면 compact이므로 ${ f(C) }$가 compact. 그런데 Hausdorff space ${ Y }$에서 compact이면 closed이므로 ${ f(C) }$는 closed.

${ f }$는 proper

${ K \subseteq Y }$가 compact ${ \Rightarrow }$ ${ K }$가 closed ${ \Rightarrow }$ ${ f^{-1}(K) }$가 closed ${ \Rightarrow }$ ${ f^{-1}(K) }$가 compact.

참고문헌

  1. Munkres (2000). Topology, 2nd Edition.
  2. Open and closed maps. In Wikipedia. Retrieved March 2, 2024, from https://en.wikipedia.org/wiki/Open_and_closed_maps

  1. K가 Y의 compact subset ⇒ K의 preimage under f가 compact. ↩