정의
${ (P,\preceq) }$가 preoredered set이라고 하자. ${ U \subseteq P }$가 upper set이라는 것은
\[\forall x \in P,\exists u \in U,\quad u \le x \Rightarrow x \in U\]즉, 어떤 원소 하나가 들어가면 그 뒤의 모든 원소를 포함한다는 것이다.
dual 개념으로 lower set ${ L \subseteq P }$는 다음과 같이 정의한다.
\[\forall x \in P,\exists l \in L,\quad x \le l \Rightarrow x \in L\]Closure
원소 ${ x \in P }$가 주어졌을때 다음과 같은 upper closure 또는 upward closure를 정의할 수 있다.
\[x^{\uparrow P} = \{ u \in P: x \le u \}\](다른 표기법: ${ \uparrow_{P} x }$, ${ P }$가 분명할 경우 생략하여 ${ x^{\uparrow},\uparrow x }$로도 적는다.)
자연스럽게, 집합 ${ A \subseteq P }$에 대해선 다음과 같이 정의한다.
\[A^{\uparrow P} = \bigcup_{a \in A} a^{\uparrow P}\]dual 개념으로, lower closure가 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
\[\begin{eqnarray} x^{\downarrow P} &=& \{ l \in P: l \le x \} \\ A^{\downarrow P} &=& \bigcup_{a\in A} a^{\downarrow }\end{eqnarray}\]${ A }$가 한 원소 집합인 경우 principal이라고 한다.
다시말해,
\[\{ x \}^{\uparrow} = x^{\uparrow }\]를 principal upper closure라고 한다.
참고문헌
- Grätzer (2011). Lattice Theory: Foundation, Birkhäuser, p.7.
- Wikipedia. Upper set, Retrieved: Feb 28, 2024, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Upper_set