정의

Filter base

poset ${ P }$ 위의 filter ${ F }$가 주어졌을 때 ${ B \subseteq F }$가 filter base라는 것은 ${ B }$로 생성되는 upper set이 ${ F }$인 경우를 의미한다.

\[B^{\uparrow P} = \bigcup_{b \in B} \{ x \in P: b\le x \} =F\]

즉, ${ B }$라는 집합을 upward closure 시키면 ${ F }$가 된다는 것이다.

거꾸로, ${ B }$가 ${ F }$를 생성하려면 반드시 다음 조건을 만족해야 된다.

\[\forall x \in F,\exists b \in B, \quad b \le x\]

Prefilter

위의 filter base ${ B }$가 nonempty이고 downward directed이면 upper closure ${ B^{\uparrow P} }$가 항상 어떤 filter를 생성한다. 이런 ${ B }$를 prefilter라고 한다.

Filter subbase

집합 ${ X }$에 대해 ${ \mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(X) }$가 주어졌을때 ${ \mathcal{S} }$를 포함하는 가장 작은 filter ${ \mathcal{F} }$를 생각해보자.

집합론적 filter는 downward directedness와 finite intersection property가 동일하다. 따라서,

\[\mathcal{B}= \mathcal{S} \cup \{ \mbox{all finite intersections in } \mathcal{S} \}\]

는 prefilter가 된다. 이 ${ \mathcal{B} }$가 filter ${ \mathcal{F} }$를 생성할 때, ${ \mathcal{S} }$를 ${ \mathcal{F} }$의 subbase라고 한다.

참고문헌

  1. Eric Schechter (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press.
  2. Wikipeda. Filter (mathematics), Retrieved: Feb 28, 2024, URL:https://en.wikipedia.org/wiki/Filter_(mathematics).