성질
함수 ${ f: X\to Y}$와 대해서,
\[\begin{gather} \mbox{(image)} & f[A]=\{ f(x) : x\in A \} \\ \mbox{(inverse image)} & f^{-1}[B]=\{ x \in X: f(x) \in B \} \end{gather}\]라고 하자.
${ f }$를 binary relation 관점에서 봤을때, inverse relation ${ f^{-1} }$도 binary relation이므로 그 성질들이 그대로 성립한다.
증명은 binary relation의 image의 성질을 참조하라.
Monotonicity
${ A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq X }$와 ${ B_{1} \subseteq B_{2} \subseteq Y }$에 대해
\[\begin{gather} f[A_{1}] \subseteq f[A_{2}] \\ f^{-1}[B_{1}] \subseteq f^{-1}[B_{2}] \end{gather}\]Intersection
${ A_{1}, A_{2} \subseteq X }$에 대해,
\[f[A_{1} \cap A_{2}] \subseteq f[A_{1}] \cap f[A_{2}]\]inverse relation ${ f^{-1} }$는 injective이므로 ${ B_{1},B_{2} \subseteq Y }$에 대해,
\[f^{-1}[B_{1}\cap B_{2}]= f^{-1}[B_{1}] \cap f^{-1}[B_{2}]\]Union
${ (A_{\alpha}: \alpha \in I) \subseteq \mathcal{P}(X)}$에 대해,
\[f[\bigcup_{\alpha \in I} A_{a}]=\bigcup_{\alpha \in I}f[A_{\alpha}]\]${ (B_{\beta}:\beta \in J) \subseteq \mathcal{P}(Y)}$에 대해,
\[f^{-1}[\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}] = \bigcup_{\beta \in J} f^{-1}[B_{\beta}]\]Difference
${ A_{1},A_{2} \subseteq X }$에 대해,
\[f[A-B] \subseteq f[A]-f[B]\]등호는 ${ f }$가 injective일 때 성립한다.
${ f^{-1} }$는 injective relation이므로, ${ B_{1},B_{2} \subseteq Y }$에 대해,
\[f^{-1}[B_{1}-B_{2}]=f^{-1}[B_{1}]-f^{-1}[B_{2}]\]Saturation
${ A \subseteq X }$에 대해,
\[A \subseteq f^{-1}[f[A]]\]등호는 restriction ${ f\rvert_{A} }$가 injective일 때만 성립한다.
${ B \subseteq Y }$에 대해,
\[f[f^{-1}[B]] \subseteq B\]등호는 ${ B \subseteq \mathrm{ran}(f) }$일 때만 성립한다.
${ f^{-1}f }$ 관계식 증명
\[\forall a\in A, \quad f(a) \in f[A] \Rightarrow a \in f^{-1}[f[A]]\]등호는 다음으로 보일 수 있다.
\[a \in A \Leftrightarrow f(a) \in f[A] \Leftrightarrow a \in f^{-1}[f[a]]\]왼쪽 ${ \Leftrightarrow }$가 injectivity, 오른쪽 ${ \Leftrightarrow }$가 등호
${ ff^{-1} }$ 관계식 증명
\[x \in f^{-1}[B] \Rightarrow f(x) \in B\]등호는 다음으로 보일 수 있다.
\[\begin{eqnarray} b \in f[f^{-1}[B]] &\Leftrightarrow& b=f(x) \mbox{ for some } x \in f^{-1}[B] \\ &\Leftrightarrow& b \in \mathrm{ran}(f) \cap B\end{eqnarray}\]