정의
Net
${ X }$가 주어진 집합이고 ${ J }$를 directed set이라고 하자. 이때 함수
\[x_{\bullet}: J \to X\]를 ${ X }$ 안에서 net라고 한다. net는 generalized sequence 또는 Moore-Smith sequence라고도 한다.
표기법
- ${ x_{\bullet}(\alpha) }$는 일반적으로 ${ x_{\alpha} }$로 적는다.
- ${ x_{\bullet}}$를 ${ (x_{\alpha})_{\alpha \in J} }$라고도 적는다. 또 ${ J }$가 분명할 때는 그냥 ${ (x_{\alpha}) }$라고 적는다.
Tail
directed set ${ J }$의 tail 또는 section은 다음과 같이 정의된다.
\[J_{\ge \beta} = \{ \alpha \in J: \alpha \succeq \beta \ \}\]net ${ x_{\bullet}=(x_{\alpha})_{\alpha \in J} }$의 tail 또는 section은 다음과 같이 정의된다.
\[x_{\ge \beta} = \{ x_{\alpha} : \alpha \succeq \beta \}\]이때 set ${ \mathrm{Tails}(x_{\bullet}) }$는 다음과 같이 정의된다.
\[\mathrm{Tails}(x_{\bullet}) = \{ x_{\ge \beta}: \beta \in J \}\]Eventuality
net ${ (x_{\alpha})_{\alpha \in J} }$가 eventually 또는 residually in a set ${ S}$라는 것은
\[\exists \beta \in J,\quad \beta \preceq \alpha \Rightarrow x_{\alpha} \in S\]즉, 어떤 ${ \beta }$가 존재해 이후의 모든 항이 ${ S }$에 들어간다는 것이다.
동등하게,
\[\exists \beta \in J, \quad x_{\ge \beta} \subseteq S\]Frequentness
net ${ (x_{\alpha})_{\alpha \in J} }$가 frequently 또는 cofinally in ${ S }$ 라는 것은
\[\forall \alpha \in J, \exists \beta \in J, \quad \alpha \preceq \beta \mbox{ and } x_{\beta} \in S\]또는 동등하게,
\[\forall \beta \in J, \quad x_{\ge \beta} \cap S \neq \emptyset\]즉, ${ S }$에 들어가지 않는 경계가 없다는 것이다.
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참고문헌
- Eric Schechter (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press.
- Wikipidia. Filters in topology, Retrived: February 26, 2024