정의

nonempty preordered set ${ \left( J, \preceq \right) }$이 주어졌을때, 조건

\[\begin{gather} \mbox{(downward directedness)} & \forall x,y \in J, \exists z \in J, \quad z \preceq x \mbox{ and } z \preceq y \end{gather}\]

를 만족시키면 ${ (J,\preceq) }$를 (downward) directed set이라고 부른다.

dual 개념으로 upward directed set을 다음과 같이 정의한다.

\[\begin{gather} \mbox{(upward directedness)} & \forall x,y \in J,\exists z \in J, \quad x \preceq z \mbox{ and } y \preceq z \end{gather}\]

모티브

즉, ${ x }$와 ${ y }$의 공통 상계 ${ z }$가 항상 존재하는 것이다. 이 ${ z }$는 ${ x }$와 ${ y }$가 비교 불가능일 때도 ${ \sup\{x,y\} }$와 유사한 역할을 한다 생각하면 된다.

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