정의
집합 ${ P }$에 대해서 다음 성질을 만족시키는 binary relation ${ \preceq }$을 partial order라고 한다.
- (Refl) ${ \forall a \in P,\, a \preceq a }$
- (ASym) ${ a \preceq b }$이고 ${ b \preceq a }$이면 ${ a = b }$
- (Trans) ${ a \preceq b }$이고 ${ b \preceq c }$이면 ${ a \preceq c }$
다음 성질을 만족시키는 것을 strict partial order라고 한다.
- (Strict) ${ \forall a \in P,\, a\nprec a }$
- (Trans) ${ a \preceq b }$이고 ${ b \preceq c }$이면 ${ a \preceq c }$
partial order ${ \preceq }$와 strict partial order ${ \prec }$는 항상 대각관계 ${ \Delta = \{ (a,a) : a \in P \} }$를 통해
\[\prec = \preceq \setminus \Delta\]로 일대일 대응 되기 때문에 따로 언급이 없으면 ${ \prec }$는 strict partial order라고 가정한다.
집합 ${ P }$와 그 위에 주어진 partial order ${ \preceq }$의 순서쌍 ${ (P,\preceq) }$를 partially ordered set, 줄여서 poset이라고 한다.