정의

topologically indistinguishable

topological space ${ (X,\mathcal{T}) }$의 두 점 ${ x,y }$가 topologically indistinguishable이라는 것은

\[\forall U \in \mathcal{T}, \quad x \in U \iff y \in U\]

이다.

Proposition TFAE

  1. ${ x }$와 ${ y }$는 topologically indistinguishable
  2. ${ \mathrm{cl}(\{x\}) = \mathrm{cl}(\{ y \})}$
  3. ${ \mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(y) }$

${ T_{0} }$ space

다음 조건을 만족하는 topological space ${ (X,\mathcal{T}) }$를 ${ T_{0} }$ space 또는 Komogorov space라고 한다.

${ x }$와 ${ y }$가 topologically indistinguishable ${ \Rightarrow }$ ${ x=y }$

동등하게, ${ \forall x,y \in X }$에 대해서 ${ x \neq y }$이면,

\[\exists U \in \mathcal{T}, \quad x \in U \not\ni y \mbox{ or } x \notin U \ni y\]

참고문헌

  1. Eric Schechter (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations, p.436-437