정의
set function 관점
주어진 함수 ${ \varphi: X \to Y }$에 대해, 임의의 집합 ${ Z }$와 임의의 ${ f: Y \to Z }$가 다음을 만족하는 함수 ${ \varphi^{\ast}f:X \to Z }$를 ${ f }$의 pullback along ${ \varphi }$라고 한다.
\[(\varphi^{\ast}f)(x)=f( \varphi(x))\]hom functor 관점
\[\hom(-,Z): \mathcal{C} \to \mathbf{Set}\]는 morphism ${ \varphi : X \to Y }$에 대해 다음과 같이 정의되는 contravariant functor이다.
\[\begin{eqnarray} \hom(\varphi,Z): \hom(Y,Z) &\to& \hom(X,Z)\\ f &\mapsto&f \circ \varphi \end{eqnarray}\]${ \varphi^{\ast}f }$를 pullback of ${ f }$ along ${ \varphi}$라고 할 때, ${ \varphi \mapsto \varphi^{\ast} }$가 functor로 잘 주어짐을 알 수 있다.
예시: transpose of a matrix
${ V,W }$가 체 ${ \mathbb{F} }$ 위의 vector space라고 하자. 그러면 linear map ${ A : V \to W }$에 대해 transpose ${ A^{t}}$는 다음과 같이 정의된다.
\[\begin{eqnarray} A^{t}: W^{\ast} &\to& V^{\ast} \\ f &\mapsto& f \circ A \end{eqnarray}\]그런데
\[W^{\ast}= \hom(W,\mathbb{F}), V^{\ast}=\hom(V,\mathbb{F} )\]이므로 ${ A^{t}f }$는 ${ f }$의 pullback along ${ A }$임을 알 수 있다.
Abstract category 버전
주어진 triple ${ (f,Z,g) }$에 대해 위 diagram에서 오른쪽 아래 정사각형을 만족시키는 triple ${ (P,p,q) }$를 생각해보자.
이때 ${ (P’,p’,q’) }$이 diagram을 commute하는 또 다른 triple이면 morphism ${ u:P’ \to P}$가 유일하게 존재해 전체 diagram이 commute하면 ${ (P,f,g) }$를 pullback이라고 한다.
pullback일 때 diagram을 꺽쇠를 추가하여 다음 같이 쓴다.
예시
예시: Fiber product
Set category에서 fiber product가 다음과 같이 주어졌을때
\[X \times_{Z} Y = \{ (x,y) \in X \times Y : f(x)=g(y) \}\]${ (X\times_{Z}Y, \pi_{1}, \pi_{2}) }$ 가 pullback이 된다.
일적인 category에서도 ${ (Z,f,g) }$의 pullback을
\[X \times_{f,Z,g} Y\]으로 표기하고 ${ f,g }$가 명백할 경우 생략하여
\[X \times_{Z} Y\]로 적는다.
직관적으로 마치 직물을 짜는 것처럼 ${ z \in Z }$를 따라 ${ f }$의 fiber ${ f^{-1}(z) }$와 ${ g }$의 fiber ${ g^{-1}(z) }$를 붙이는 것과 같다.
예시: 함수의 그래프
함수 ${ f : X \to Y }$가 주어졌을때, 그 그래프는 다음과 같이 정의된다.
\[\Gamma(f)= \{ (x,y) \in X \times Y: y=f(x) \}\]이는 다음 diagram에서 보듯 pullback이다.
예시: pullback bundle
smooth map ${ \varphi:M \to N }$이 주어져 있을 때 vector bundle ${ \pi : E \to N }$의 pullback bundle ${ \varphi^{\ast}E }$은 다음과 같이 정의된다.
\[\varphi^{\ast}E = \{ (p,e) \in M \times E: \pi(e)=\varphi(p) \}\]참고문헌
- Pullback (category theory) - Wikipedia
- John M. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed.