Semicontinuity

정의

주어진 topological space ${ X }$에 대해 함수 ${ f: X \to [-\infty, + \infty] }$를 생각해보자.

\[\limsup_{x \to x_{0}} f(x) \le f(x_{0})\]

일 때, ${ f }$가 ${ x_{0} }$에서 upper semicontinuous라고 한다.

동등하게, ${ y>f(x_{0}) }$에 대해

\[f^{-1}([-\infty,y)) \mbox{ is open in } X\]

라고 할 수 있다.

모든 ${ x_{0} \in X}$에 대해 위 조건을 만족하면, ${ f }$가 upper semicontinuous라고 한다.

\[f(x_{0}) \le \liminf_{x \to x_{0}} f(x)\]

일 때, ${ f }$가 ${ x_{0} }$에서 lower semicontinuous라고 한다.

동등하게, 모든 ${ y<f(x_{0}) }$에 대해

\[f^{-1}((y,+\infty]) \mbox{ is open in } X\]

라고 할 수 있다.

모든 ${ x_{0} \in X }$에 대해 위 조건을 만족하면, ${ f }$가 lower semicontinuous라고 한다.

${ f: X\setminus \{ x_{0} \} \to [-\infty,+\infty] }$의 그래프가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

semicontinuity

이때,

\[\begin{eqnarray} \liminf_{x \to x_{0}} f(x) = a \\ \limsup_{x \to x_{0}} f(x) = b \end{eqnarray}\]

이기 때문에 만약 ${ (x_{0},f(x_{0})) }$라는 점을 추가했을 때

${ f(x_{0}) \ge b }$인 경우, upper semicontinuous

${ f(x_{0}) \le a }$인 경우, lower semicontinuous

가 된다.¹