정의
${ I }$이 ${ \mathbb{R} }$의 interval이라고 하자.
Right-hand limit
함수 ${ f: I \to [-\infty,+\infty] }$에 대해,
\[\forall \varepsilon>0, \exists \delta >0, \quad a<x<a+\delta \Rightarrow \lvert f(x)-L \rvert < \varepsilon\]를 만족시키는 ${ L\in [-\infty,+\infty] }$을 ${ f }$의 우극한(right-hand limit)이라 하고 다음과 같이 표기한다.
\[f(a+)=\lim_{x \to a+} f(x)=\lim_{x \searrow a} f(x) = \lim_{x \downarrow a} f(x)\]Left-hand limit
함수 ${ f: I \to [-\infty,+\infty] }$에 대해,
\[\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0, \quad a-\delta<x <a \Rightarrow \lvert f(x)-L \rvert < \varepsilon\]를 만족시키는 ${ L \in [-\infty,+\infty]}$을 ${ f }$의 좌극한(left-hand limit)이라 하고 다음과 같이 표기한다.
\[f(a-)=\lim_{x\to a-}f(x)= \lim_{x\nearrow a} f(x) = \lim_{x \uparrow a} f(x)\]Directional continuity
\[f(a+) = f(a)\]이면 ${ f }$는 ${ a }$에서 right continuous라고 하고, 만약 모든 ${ a\in I }$에서 right continuous이면 ${ f }$는 (${ I }$에서) right continuous라고 한다.
\[f(a-) = f(a)\]이면 ${ f }$는 ${ a }$에서 left continuous라고 하고, 만약 모든 ${ a \in I }$에서 left continuous이면 ${ f }$는 (${ I }$에서) left continuous라고 한다.
이렇게 한 방향으로만 연속인 것을 directional continuity 또는 one-sided continuity라고 한다.
left continuous이면서 동시에 right continuous이면 continuous이다.
기하학적 관점
${ f: I\setminus \{ x_{0} \} \to \mathbb{R} }$의 그래프가 다음과 같이 주어져 있을 때,
이므로 점 ${ (x_{0},f(x_{0}) )}$를 추가했을때,
${ f(x_{0})= b }$이면 right continuous,
${ f(x_{0}) = a }$이면 left continuous,
${ a=b=f(x_{0}) }$이면 continuous이다.