Associative algebra

정의

Associative ${ R }$-algebra

${ R }$이 commutative ring이고 ring ${ A }$가 ${ R }$-module이라고 하자. 임의의 ${ r \in R }$과 임의의 ${ x,y \in A }$에 대해 scalar multiplication ${ \cdot R \times A \to A}$가

\[r \cdot(xy)=(r\cdot x)y = x(r \cdot y)\]

을 만족시키면 ${ A }$를 associative algebra over ${ R }$ 또는 associative ${ R }$-algebra라고 한다.

ring homomorphism을 통한 정의

ring homomorphism ${ \varphi : R \to A }$가 주어져 있고 ${ \mathrm{ran}\, \varphi }$가 ${ A }$의 center에 들어갈 때 다음 ${ A }$에 ${ R }$-module structure를 줄 수 있다.

\[\begin{eqnarray} R \times A &\to& A \\ (r,a) &\mapsto& \varphi(r)a \end{eqnarray}\]

이때 ${ \varphi }$를 structure map이라고 부른다.

Algebra homomorphism

${ A }$와 ${ B }$가 associative ${ R }$-algebra일 때 ring homomorphism ${ f : A \to B }$가 ${ R }$-linear map이면 associative ${ R }$-algebra homomorphism이라고 한다.