정의
AA subnet
${ x_{\bullet}= ( x_{\alpha} )_{\alpha \in A} }$ 와 ${ y_{\bullet}=(y_{\beta})_{\beta \in B} }$가 net이라고 하자.
TFAE
\[y_{\bullet}\mbox{-frequent} \Rightarrow x_{\bullet}\mbox{-frequent}\] \[x_{\bullet}\mbox{-eventual} \Rightarrow y_{\bullet} \mbox{-eventual}\] \[\forall \alpha \in A, \exists \beta \in B , \quad y_{\ge \beta} \subseteq x_{\ge \alpha}\]만약 위 조건 중 하나를 만족하면 ${ y_{\bullet} }$ 를 ${ x_{\bullet} }$의 AA subnet 또는 subnet in the sense of Aarnes and Andenæs라고 한다.
Kelley subnet
${ (x_{\alpha})_{\alpha\in A}}$와 ${ (y_{\beta})_{\beta \in B} }$가 net라고 하자. 이때 함수 ${ \varphi : B \to A }$가 존재하여
\[\forall \beta \in B, \quad y_{\beta}= x_{\varphi(\beta)}\]이고
\[\forall \alpha \in A, \exists \beta_{0} \in B, \quad \beta_{0} \preceq \beta \Rightarrow \alpha \preceq \varphi(\beta)\]를 만족시킬때 ${ (y_{\beta})_{\beta \in B} }$를 ${ (x_{\alpha})_{\alpha \in A} }$의 Kelley subnet이라고 부른다.
Willard subnet
${ \left( x_{\alpha} \right)_{\alpha \in A} }$와 ${ \left( y_{\beta} \right)_{\beta \in B} }$가 net라고 하자. 이때 다음 세 조건을 만족하는 함수 ${ \varphi : B \to A }$가 존재하면 ${ \left( y_{\beta} \right)_{\beta \in B} }$가 ${ \left( x_{\alpha} \right)_{\alpha \in A} }$의 Willard subnet이라고 한다.
\[(1)\ \forall \beta \in B, \quad y_{\beta} = x_{\varphi(\beta)}\] \[(2) \ \varphi \mbox{ is monotone}\] \[(3) \ \forall \alpha \in A, \exists \beta_{0} \in B,\quad \alpha \preceq \varphi(\beta_{0})\]Frequent subnet
${ (x_{\alpha} : x \in A)}$가 net이고 ${ F }$가 그것의 frequent subset이라고 하자. 이때,
\[x_{\alpha} \preceq x_{\beta} \mbox{ iff } \alpha \preceq \beta\]로 preorder를 주면 ${ F }$는 directed set이고 이때 net
\[(x_{\alpha} : \alpha \in F)\]를 ${ (x_{\alpha}: \alpha \in A) }$의 frequent subnet 또는 cofinal subnet이라고 한다.
포함관계
\[\mbox{frequent} \subseteq \mbox{Willard} \subseteq \mbox{Kelley} \subseteq \mbox{AA}\]함께보기
참고문헌
- Eric Schechter (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press.