정리

${ a_{n} \to a }$ 이고 ${ b_{n} \to b }$이라고 하자. 그러면

\[a_{n} b_{n} \to ab\]

이다.

증명

충분히 작은 ${ \varepsilon >0 }$에 대해,

${ N_{1}: n \ge N_{1} \Rightarrow \left\lvert a_{n} - a \right\rvert < \frac{\varepsilon}{2(\left\lvert b \right\rvert +1)} }$

${ N_{2}: n \ge N_{2} \Rightarrow \left\lvert b_{n} -b \right\rvert < \frac{\varepsilon}{2(\left\lvert a \right\rvert+1)}<1 }$1

${ N = \min(N_{1},N_{2}) }$ 이라고 하면,

${ n \ge N }$일 때,

\[\begin{eqnarray}\left\lvert a_{n}b_{n} -ab \right\rvert &\le& \left\lvert a_{n} -a \right\rvert \left\lvert b_{n} \right\rvert + \left\lvert a \right\rvert \left\lvert b_{n} -b \right\rvert \\ &<& \frac{\varepsilon}{2(\left\lvert b \right\rvert +1)} (\left\lvert b\right\rvert+1) + \frac{\varepsilon\left\lvert a \right\rvert}{2(\left\lvert a \right\rvert+1)} \\ &<& \varepsilon\end{eqnarray}\]

주석

  1. 분모가 0이 되는 상황을 피하고자 1을 더해줬다. ↩